5 (sinx+cosx) + 1+sin2x=0

Воспользуемся следующими формулами из тригонометрии:

sin (2 * α) = 2 * sin (α) * cos (α);

sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1;

Преобразуем заданное выражение:

5 * [sin (x) + cos (x) ] + sin^2 (x) + cos^2 (x) + 2 * sin (x) * cos (x) = 0;

Используя равенство

a^2 + 2 * a * b + b^2 = (a + b) ^2

получим:

5 * [sin (x) + cos (x) ] + [sin (x) + cos (x) ]^2 = 0;

[sin (x) + cos (x) ] * [5 + sin (x) + cos (x) ] = 0;

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

sin (x) + cos (x) = 0;

sin (x) = - cos (x);

Так как sin (x) и cos (x) не могут одновременно быть равным нулю, то можно выражение делить на cos (x):

tg (x) = - 1;

x = - π/4 + π * n;

sin (x) + cos (x) = - 5;

Так как абсолютные значения sin (x) и cos (x) не могут быть больше 1, то сумма этих функций не может быть больше 2 или менье 2; решения нет.