Доказать что прилюбых значениях х и у справедливо неравенство X'2+5y'2-4xy+2x-6y+2.5>0

1. Преобразуем выражение, выделив полные квадраты трехчлена и двучлена:

Z = x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 2,5; Z = (x^2 + 4y^2 + 1 - 4xy + 2x - 4y) + (y^2 - 2y + 1) + 0,5; Z = (x - 2y + 1) ^2 + (y - 1) ^2 + 0,5.

2. Квадраты любых действительных чисел неотрицательны:

(x - 2y + 1) ^2 ≥ 0; (y - 1) ^2 ≥ 0.

3. Сложив неравенства и прибавив к обеим частям число 0,5, получим:

(x - 2y + 1) ^2 + (y - 1) ^2 ≥ 0; (x - 2y + 1) ^2 + (y - 1) ^2 + 0,5 ≥ 0,5 > 0; Z > 0; x^2 + 5y^2 - 4xy + 2x - 6y + 2,5 > 0.

Что и требовалось доказать.