При каких натуральных n число (n + 1) (4n - 128) + 961 является квадратом?

Имеем выражение:

(n + 1) * (4 * n - 128) + 961.

Выражение представляет собой сумму произведения двух множителей с переменной в составе и числа 961.

Сразу отметим, что число 961 является квадратом натурального числа. Можно сразу определить значения n, при которых первое слагаемое будет равно нулю, и условия задачи выполнятся.

1) n + 1 = 0;

n = - 1 - число не натуральное.

2) 4 * n - 128 = 0;

4 * n = 128;

n = 32 - натуральное число.

Ответ: n = 32.