Прямая x+y=c, где с - некоторое число, касается гиперболы y=1/x в точке с положительными координатами. Найдите с.

Имеем функцию y = 1/x.

Также имеем прямую x + y = c, которая касается гиперболы в точке с положительными координатами. Найдем c.

Запишем уравнение прямой в другом виде:

y = c - x;

И запишем уравнение касательной в точке x0:

y = y' (x0) * (x - x0) + y (x0);

Коэффициент при переменной - минус единица, в то же время это - значение производной в точке x0:

y' (x0) = - 1;

y' (x) = - 1/x^2;

-1/x0^2 = - 1;

x0^2 = 1;

x0 = 1, так как в условии задачи указаны положительные координаты точки.

y (x0) = 1/1 = 1;

Запишем уравнение касательной:

y = - 1 * (x - 1) + 1;

y = - x + 1 + 1;

y = - x + 2.

c = 2.