Найдите все значения а0, при каждом из которых хотя бы одно значение функции у=4 + (a^2 / (1+x^2)) не принадлежит промежутку (2; 3+12a^ (-2) ]

1. При a = 0 выражение 12a^ (-2) = 12/a^2 не определено.

2. При a ≠ 0 значение функции превосходит 4, поэтому наибольшее значение должно быть больше, чем значение правой границы заданного промежутка:

у = 4 + a^2 / (1 + x^2); у (max) = y (0) = 4 + a^2 / (1 + 0^2) = 4 + a^2; 1 + a^2 > 12/a^2; a^2 (1 + a^2) > 12; a^4 + a^2 - 12 > 0.

3. Решим относительно a^2:

D = 1^2 + 4 * 12 = 49 = 7^2; a^2 = (-1 ± 7) / 2;

1) a^2 = (-1 - 7) / 2 = - 8/2 = - 4;

2) a^2 = (-1 + 7) / 2 = 6/2 = 3;

a^2 ∈ (-∞; - 4) ∪ (3; ∞); a^2 ∈ (3; ∞); a^2 > 3; a ∈ (-∞; - √3) ∪ (√3; ∞).

Ответ: (-∞; - √3) ∪ (√3; ∞).