Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2sin2x+cos4x на промежутке [0; pi/3]

1. Производная функции:

y (x) = 2sin (2x) + cos (4x);

y' (x) = 4cos (2x) - 4sin (4x);

y' (x) = 4cos (2x) - 8sin (2x) cos (2x);

y' (x) = 4cos (2x) (1 - 2sin (2x)).

2. Найдем критические точки:

y' (x) = 0;

4cos (2x) (1 - 2sin (2x)) = 0;

[cos (2x) = 0;

[1 - 2sin (2x) = 0;

[cos (2x) = 0;

[sin (2x) = 1/2;

[2x = π/2 + πk, k ∈ Z;

[2x = π/6 + 2πk, 5π/6 + 2πk, k ∈ Z;

[x = π/4 + πk/2, k ∈ Z;

[x = π/12 + πk, 5π/12 + πk, k ∈ Z.

Критические точки на промежутке [0; π/3]:

π/12 и π/4.

3. Вычислим значения функции на концах промежутка [0; π/3] и в критических точках:

y (0) = 2sin0 + cos0 = 2 * 0 + 1 = 1;

y (π/12) = 2sin (π/6) + cos (π/3) = 2 * 1/2 + 1/2 = 3/2;

y (π/4) = 2sin (π/2) + cos (π) = 2 * 1 - 1 = 1;

y (π/3) = 2sin (2π/3) + cos (4π/3) = 2 * √3/2 - 1/2 = √3 - 1/2.

Наименьшему значению функция достигает в точках 0 и π/4:

y (0) = y (π/4) = 1,

наибольшему значению - в точке π/12:

y (π/12) = 3/2.

Ответ: 1 и 3/2.