Число 180 разбейте на три положительных слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение трех слагаемых было наибольшим.

Обозначим искомые числа через а, b, c.

По условию задачи известно, что

a + b + c = 180 и a / c = 1/2, c = 2 * a. Следовательно, имеем:

a + b + 2 * a = 180,

b = 180 - 3 * a.

Рассмотрим функцию F произведения трёх слагаемых:

F (a) = a * b * c = a * (180 - 3 * a) * 2 * a = 6 * a^2 * (60 - a) =

= 6 * (60 * a^2 - a^3).

Вычислим производную функции F и найдём точки экстремума:

F' (a) = 6 * (120 * a - 3 * a^2) = 18 * (40 - a) * a = 0.

F' (a) > 0 при 0 < a < 40 и F' (a) 40.

Следовательно, функция F достигает максимума при a = 40.

Значит, искомые числа:

a = 40, c = 2 * a = 80, b = 60.