Найти наибольшее целое решение неравенства: (х²+4 х+10) ² - 7 (х² + 4 х+11) + 7< 0

Во втором произведении выделим в скобках сумму 11 = 10 + 1, после чего разделим его на два слагаемых.

(x² + 4x + 10) ² - 7 (x² + 4x + 10 + 1) + 7 < 0;

(x² + 4x + 10) ² - 7 (x² + 4x + 10) - 7 * 1 + 7 < 0;

(x² + 4x + 10) ² - 7 (x² + 4x + 10) < 0;

Вынесем за скобки общий множитель (x² + 4x + 10).

(x² + 4x + 10) (x² + 4x + 10 - 7) < 0;

(x² + 4x + 10) (x² + 4x + 3) < 0.

Произведение двух сомножителей отрицательно, если они имеют разные знаки.

x² + 4x + 10 < 0;

x² + 4x + 3 > 0.

x² + 4x + 10 > 0;

x² + 4x + 3 < 0.

x² + 4x + 10 = 0;

D = 4 * 4 - 40 < 0 - решений нет, значит x² + 4x + 10 > 0 при любых значениях переменной.

x² + 4x + 3 = 0.

D = 4 * 4 - 12 = 16 - 12 = 4 = 2 * 2.

x₁ = ( - 4 + 2) / 2 = - 1/2;

x₂ = ( - 4 - 2) / 2 = - 6/2 = - 3.

x² + 4x + 3 = (x + 1/2) (x + 3).

(x + 1/2) (x + 3) < 0.

x + 1/2 < 0;

x + 3 > 0.

x + 1/2 > 0;

x + 3 < 0.

x < - 1/2;

x > - 3.

x > - 1/2;

x < - 3.

Ответ: наибольшее целое решение неравенства x = - 1.