S=a+1/a, найти чему равно a^4+1/a^4

Известно что S = a + 1/a. Найдем значение выражения: a^4 + 1/a^4.

Запишем наше выражение в виде суммы квадратов: (a^2) ^2 + (1/a^2) ^2.

Добавим и отнимем от него удвоенное произведение первого слагаемого на второе, чтобы воспользоваться формулой квадрата суммы. Получим:

(a^2) ^2 + (1/a^2) ^2 = (a^2) ^2 + (1/a^2) ^2 + 2 * (a^2) * (1/a^2) - 2 * (a^2) * (1/a^2).

В результате сокращения, получим запись:

(a^2) ^2 + (1/a^2) ^2 + 2 - 2 = [ (a^2) ^2 + 2 + (1/a^2) ^2] - 2.

Выражение в квадратных скобках заменим на квадрат суммы:

[ (a^2) ^2 + 2 + (1/a^2) ^2] - 2 = [ (a^2 + 1/a^2) ^2] - 2.

Проделаем все действия второй раз с внутренней скобкой, получим:

[ (a^2 + 1/a^2) ^2] - 2 = [ (a + 1/a) ^2 - 2]^2 - 2.

Теперь a + 1/a заменим на S, получим:

[ (a + 1/a) ^2 - 2] ^2 - 2 = [S^2 - 2]^2 - 2.

Ответ: Если S = a + 1/a, то a^4 + 1/a^4 = [S^2 - 2]^2 - 2.