Найдите производную функции f (x) = 7x под корнем x, если x=4

Найдём производную функции: f (x) = 7x * √x.

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(√x) ' = 1 / 2√x (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования)

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (7x) ' = 7 * х^ (1-1) = 7 * х^0 = 7 * 1 = 7;

2) (√x) ' = 1 / 2√x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

f (x) ' = (7x * √x) ' = (7x) ' * √x + 7x * (√x) ' = 7 * √x + 7x * (1 / 2√x) = 7√x + 7x / 2√x = ((7√x) * (2√x) + 7x) / 2√x = (14x + 7x) / 2√x = 21x / 2√x = (21√x) / 2.

Вычислим значение производной в точке х0 = 4:

f (4) ' = (21 * √4) / 2 = (21 * 2) / 2 = 21.

Ответ: f (x) ' = (21√x) / 2, а f' (4) = 21.