Доказать, что при любом n (N) справедливо тождество: 1+7/3+13/9 + ... + (6n-5) / (3^ (n-1)) = (2*3^n-3n-2) / (3^ (n-1))

1) По методу индукции докажем равенство при n = 2:

1 + 7/3 = (2 * 3^2 - 3 * 2 - 2) / 3^1; 10/3 = (18 - 6 - 2) / 3; 20/3 = 20/3, доказано.

2) Пусть равенство справедливо при п = к, тогда справедливо при любых п:

1 + 7/3 + 13/9 + ... + (6 к - 5) / (3^ (к - 1) = (2*3^к - 3 к - 2) / [3^ (к - 1]. (1)

3) Докажем, что равенство справедливо при п = к + 1, получим:

1 + 7/3 + 13/9 + ... + (6 к + 1) / (3^ (к) ] = (2*3^ (к + 1) - 3 (к + 1) - 2) / [3^ (к) ]. (2) Для доказательства вычтем (2) - (1) получим равенство.

(-2 * 3^n + 3 * 3n + 6 + 6 * 3^n - 3n - 5) / 3^n = 6n + 1/3^n, получили тождество, значит, равенство (2) справедливо.