1) Представить число 10 в виде суммы 2 ух неотрицательных чисел слагаемых так, чтобы сумма квадрат одного из них на удвоенное второе было наибольшим. 2) Из всех прямоугольных треугольников с площадью 32 см^2, найдите треугольник с наименьшей суммы катетов.

Задание состоит из двух частей, в каждой из частей которых требуется решать определённую задачу на экстремум. Выполним каждую часть по отдельности.

Обозначим одного из двух неотрицательных чисел через х. Тогда, второе число будет равен 10 - х. Очевидно, что 0 ≤ х ≤ 10. По условию задания, составим две функции u (х) = х² + 2 * (10 - х) = x² - 2 * x + 20 и v (x) = (10 - х) ² + 2 * x = 100 - 20 * x + x² + 2 * x = x² - 18 * x + 100. Исследуем каждую функцию на экстремум. А) Рассмотрим функцию u (х) = x² - 2 * x + 20. Вычислим производную u' (х) = (х² + 2 * - 2 * x + 20) ' = 2 * x - 2. Приравнивая производную к нулю, получим уравнение 2 * х - 2 = 0, решением которого является х = 1. Поскольку при х ∈ [0; 1) выполняется неравенство u' (х) 0, то функция u (х) = x² - 2 * x + 20 при х = 1 принимает минимальное значение. Теперь найдём наибольшее значение функции на интервале [0; 10]. С этой целью вычислим значения функции на границах интервала [0; 10]. Имеем: u (0) = 0² - 2 * 0 + 20 = 20 и u (10) = 10² - 2 * 10 + 20 = 100 - 20 + 20 = 100. Значит, функция u (х) = x² - 2 * x + 20 при х = 10 принимает максимальное значение, равное 100. Б) Рассмотрим теперь функцию v (х) = x² - 18 * x + 100. Вычислим производную v' (х) = (x² - 18 * x + 100) ' = 2 * x - 18. Приравнивая производную к нулю, получим уравнение 2 * х - 18 = 0, решением которого является х = 9. Поскольку при х ∈ [0; 9) выполняется неравенство v' (х) 0, то функция v (х) = x² - 18 * x + 100 при х = 9 принимает минимальное значение. Теперь найдём наибольшее значение функции на интервале [0; 10]. С этой целью вычислим значения функции на границах интервала [0; 10]. Имеем: v (0) = 0² - 18 * 0 + 100 = 100 и v (10) = 10² - 18 * 10 + 100 = 100 - 180 + 100 = 20. Значит, функция v (х) = x² - 2 * x + 20 при х = 0 принимает максимальное значение, равное 100. Таким образом, в любом случае максимальным значением составленных функций является 100. Ответ: 10 = 10 + 0 или 10 = 0 + 10. Как известно, площадь прямоугольного треугольника можно найти как половина произведения его катетов. Пусть а и b - катеты данного прямоугольного треугольника. Тогда, по условию задания, ½ * а * b = 32 см². В дальнейшем, для краткости записи, опустим единицы измерения. Тогда, b = 64 / а. Очевидно, что 0 < a < 64. По условию задания, составим сумму катетов данного треугольника и обозначим её через у. Имеем: у = а + b = а + 64 / а. Исследуем функцию у (а) = а + 64 / а на экстремум. Вычислим производную у' (х) = (а + 64 / а) ' = 1 - 64 / а². Приравнивая производную к нулю, получим уравнение 1 - 64 / а² = 0, решениями которого являются а₁ = - 8 и а₂ = 8. Естественно первый корень отпадает как не удовлетворяющий условию 0 < a < 64. Рассмотрим второй корень а = 8. Поскольку при а ∈ (0; 8) выполняется неравенство у' (а) 0, то функция у (а) = а + 64 / а при а = 8 принимает минимальное значение. Вычислим это минимальное значение: у (8) = 8 + 64/8 = 8 + 8 = 16. Вычислим длину второго катета: b = 64/8 = 8. Значит, получили равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами по 8 см и гипотенузой, длиной √ (8² + 8²) = 8√ (2). Ответ: Равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами по 8 см и гипотенузой, длиной 8√ (2) см.