Число 10 представить в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма кубов этих чисел была: а) наибольшей б) наименьшей

Обозначим искомые числа через a, b.

По условию задачи известно, что

a + b = 10, a > = 0, b > = 0.

Тогда имеем:

b = 10 - a.

Рассмотрим функцию F:

F (a) = a^3 + b^3 = a^3 + (10 - a) ^3.

Нам необходимо найти при каких значениях a на интервале [0, 10] функция F достигает наибольшего и наименьшего значений.

Вычислим производную функции F:

F' (a) = 3 * a^2 - 3 * (10 - a) ^2 = 3 * (a^2 - (10 - a) ^2) =

= 3 * 100 * (2 * a - 10) = 600 * (a - 5).

F' (a) = 0 при a = 5,

F' (a) < 0 при 0 < = a < 5,

F' (a) > 0 при 5 < = a <=10.

Следовательно, минимум F достигается при a = 5.

Так как F (0) = F (10) = 1000, то максимум F достигается при a = 0 и a = 10.

5 + 5 = 10, min F (a) = 5^3 + 5^3 = 250.

10 + 0 = 10, max F (a) = 10^3 = 1000.