В остроугольном треугольнике АВС серединные перпендикуляры сторон ВС и АС пересекаются в точке О. Найдите строну Ос, если АВ = 10, а угол ВОА = 120°.

Рассмотрим остроугольный треугольник АВС.

Серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС пересекаются в точке О.

По свойству серединного перпендикуляра имеем:

ОВ = ОС и ОА = ОС. Следовательно,

ОА = ОВ = ОС. Отсюда вытекает, что О - центр описанной вокруг треугольника АВС окружности и её радиус R = ОА = ОВ = ОС.

Заметим, что угол ВСА опирается на дугу АВ, центральный угол которой ВОА = 120°. Следовательно:

ВСА = 1/2 * ВОА = 1/2 * 120° = 60°.

По теореме синусов имеем:

АВ / sin (BCA) = 2 * R,

10 / sin (60°) = 2 * R,

10 / (√3/2) = 2 * R,

10/√3 = R,

OC = R = 10 * √3 / 3.