Известно, что f (2015) ≠0, а также, что для любых x и y f (x) ⋅f (y) = f (x-y). Найдите возможные значения f (100500).

1. Возьмем соотношение f (x) ⋅ f (y) = f (x - y) и подставим x = 2015, y = 0;

f (2015) · f (0) = f (2015) - делим на f (2015) ≠ 0, получаем f (0) = 1;

2. Подставим y = x;

f (x) · f (x) = f (x - x) = f (0) = 1; f (x) ² = 1;

3. f (x) - четная функция: f (x) · f (y) = f (y) · f (x) = f (y - x);

Следовательно, функция удовлетворяет равенству:

f (x + y) = f (x) f (y);

Выражаем все через f (1):

f (2) = f (1 + 1) = f (1) · f (1) = f (1) ²

f (3) = f (2 + 1) = f (1) ² · f (1) = f (1) ³

и так далее:

f (n) = f (1) ^n;

f (100500) = (f (1) ^2) ^50250 = 1^50250 = 1;

Ответ: f (100500) = 1;