При каких a, b и c многочленх^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 4 является точным квадратом другого многочлена и принимает значение 1 при х=-1

1. Проверим второе условие задачи:

x0 = - 1; f (x0) = 1;

f (x) = х^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 4;

1 = 1 - a + b - c + 4;

a - b + c = 4. (1)

2. Предположим, квадрат трехчлена g (x) равен многочлену f (x):

(g (x)) ^2 = f (x). (2)

С учетом того, что старший коэффициент и свободный член многочлена f (x) являются числами 1 и 4 соответственно, для g (x) получим:

g (x) = x^2 + px + 2;

(g (x)) ^2 = x^4 + p^2x^2 + 4 + 2px^3 + 4x^2 + 4px;

(g (x)) ^2 = x^4 + 2px^3 + (p^2 + 4) x^2 + 4px + 4.

3. Из уравнения (2) получим:

a = 2p; b = p^2 + 4; c = 4p.

Подставив значения переменных в уравнение (1), найдем значение p:

2p - p^2 - 4 + 4p = 4;

p^2 - 6p + 8 = 0;

D/4 = 3^2 - 8 = 1;

p = 3 ± 1;

a) p = 2;

a = 4; b = 8; c = 8;

b) p = 4;

a = 8; b = 20; c = 16.

Ответ: (4; 8; 8), (8; 20; 16).