При каких a, b и c многочлена х^4+ax^3+bx^2+cx+4 является точным квадратом другого многочлена и принимает значение 1 при х=-1

Пусть многочлен x^4 + a * x^3 + b * x^2 + c * x + 4 равен (x^2 + fx + d) ^2.

Так как это выражение принимает значение 1 при x = - 1, получается уравнение:

(1^2 + f * (-1) + d) ^2 = 1;

(1 - f + d) ^2 = 1.

Выразим переменные а, b и c из (x^2 + fx + d) ^2:

d^2 = 4.

с = 2 * d * f;

b = 2 * d + f^2;

a = 2 * f.

d^2 = 4; d = √4; d = 2; d = - 2.

1) Вычислим переменные а, b и c при d = 2:

(1 - f + d) ^2 = 1;

(1 - f + 2) ^2 = 1;

(3 - f) ^2 = 1;

9 - 6f + f^2 - 1 = 0;

f^2 - 6f + 8 = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 6; х₁ * х₂ = 8.

Корни равны f = 4 и f = 2.

При f = 4, d = 2:

с = 2 * d * f; c = 2 * 2 * 4 = 16.

b = 2 * d + f^2; b = 2 * 2 + 4^2 = 4 + 16 = 20.

a = 2 * f; a = 2 * 4 = 8.

При f = 2, d = 2:

с = 2 * d * f; c = 2 * 2 * 2 = 8.

b = 2 * d + f^2; b = 2 * 2 + 2^2 = 4 + 4 = 8.

a = 2 * f; a = 2 * 2 = 4.

1) Вычислим переменные а, b и c при d = - 2:

(1 - f - 2) ^2 = 1;

(-f - 1) ^2 = 1;

f^2 + 2f + 1 - 1 = 0;

f^2 + 2f = 0;

f (f + 2) = 0;

f = 0; f = - 2.

При f = 0, d = - 2:

с = 2 * d * f; c = 2 * (-2) * 0 = 0.

b = 2 * d + f^2; b = 2 * (-2) + 0^2 = - 4.

a = 2 * f; a = 2 * 0 = 0.

При f = - 2, d = - 2:

с = 2 * d * f; c = 2 * (-2) * (-2) = 8.

b = 2 * d + f^2; b = 2 * (-2) + (-2) ^2 = 0.

a = 2 * f; a = 2 * (-2) = - 4.

Ответ: a = 8, b = 20, c = 16;

a = 4, b = 8, c = 8;

a = 0, b = - 4, c = 0;

a = - 4, b = 0, c = 8.