Дан треугольник, у которого длина основания 20 см, а длины медиан, проведенные к боковым сторонам равны 18 и 24 см. Чему равна площадь данного треугольника?

Рассмотрим треугольник ABC.

Построим медианы AM и CN.

Обозначим точку их пересечения через O.

По условию задачи имеем:

AC = 20, AM = 18, CN = 24.

По свойству медиан имеем, что:

AO = 2/3 * AM = 2/3 * 18 = 12,

CO = 2/3 * CN = 2/3 * 24 = 16.

Заметим, что по теореме косинусов для треугольника AOC:

AC^2 = AO^2 + CO^ - 2 * AO * CO * cos (AOC),

20^2 = 12^2 + 16^2 - 2 * 12 * 16 * cos (AOC),

400 = 144 + 256 + 2 * 12 * 16 * cos (AOC),

cos (AOC) = 0, AOC = 90°.

Следовательно, треугольник AOC - прямоугольный и

sin (OAC) = CO / AC = 16/20 = 4/5.

Опустим высоту MH из вершины M треугольника AMC

на основание AC. Имеем:

MH = AM * sin (OAC) = 18 * 4/5 = 72/5.

Следовательно, площадь S треугольника ABC:

S = 2 * 1/2 * AC * MH = 20 * 72/5 = 288.

Ответ: 288.