Дана дробь 2/5. Разрешается много раз выполнять следующие операции: прибавлять 2014 к числителю или прибавлять 2013 к знаменателю. Можно ли с помощью только этих операций получить дробь, равную 2/3?

Нельзя. Приведём два доказательства. Первое доказательство. Допустим, что существуют такие натуральные числа m и n, для которых выполняется равенство (2 + 2014 * m) / (5 + 2013 * n) = 2/3. Тогда, имеем: 6 + 6042 * m = 10 + 4026 * n или 3021 * m - 2013 * n = 2, откуда 3 * (1007 * m - 671 * n) = 2. Это равенство не может выполняться для натуральных чисел m и n. Противоречие доказывает наше утверждение. Второе доказательство. Число 2013, которое добавляется к знаменателю дроби 2/5, кратно 3. Однако, 5 не кратно 3. Если к числу, не кратному 3, прибавить число, кратное 3, то получим число, не кратное 3. Таким образом, не можем сократить полученную дробь так, чтобы в знаменателе было число 3. Утверждение доказано.