С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 78?

Будем рассуждать с конца. У нас есть число 78, из него нам нужно получить 1 при помощи либо деления на 2, либо перестановки цифр разрядов.

Если переставить цифры местами, то получится число 87, оно нечётное, а значит из него ничего получить кроме как число 78 нельзя.

Остаётся 78 делить на 2. Получается число 39. Это число тоже нечётное, причём нечётные у него обе цифры, и полученное из него число 93 пополам тоже не делится.

Вывод: из числа 78 никак нельзя получить число 1 при помощи деления на 2 или перестановки цифр. А значит и из 1 тоже 78 не получить никак.