С числами можно выполнять следующие операции: умножать на 2 или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить 0 на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 78?

Любое число которое получено при помощи описанного правила (умножение на 2 или перестановка цифр разрядов) из 1, может быть преобразовано снова к 1 при помощи обратного правила. Обратным правилом будет деление на 2 или перестановка цифр разрядов. Это очевидно, ведь последовательность преобразования будет повторять путь получения этого числа, только двигаться мы будем с конца.

Попытаемся преобразовать 78 к 1.

Переставив разряды мы получим число 87, оно нечётно, а значит нас не интересует.

Разделив число 78 на 2 получим 39. Обе цифры в разрядах нечётные. На 2 не делится ни само это число, ни число 93. Значит мы никак к 1 преобразовать 78 не можем.

Вывод. Из 1 при помощи описанных правил 78 получить невозможно!