Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили 2016. Найдите наибольшее возможное исходное число.

Решение

Пусть исходное число - N, а сумма его цифр - S.

Поскольку сумма цифр любого n-значного числа имеет наибольшее значение 9 * n (когда все цифры 9), то очевидно, что исходное число является четырехзначным. Более того, сумма цифр четырехзначного числа меньше или равно 36, поэтому искомое число не больше, чем:

N ≤ 2016 + 36;

N ≤ 2052.

Это значит, что две старшие цифры нашего числа известны: 2 и 0.

Обозначение

Обозначим неизвестные цифры числа N: x и y. Тогда исходное число N будет иметь вид:

N = 20xy, где выражение означает не умножение, а четырехзначное число; N = 2 * 1000 + 0 * 100 + 10 * x + y; N = 2000 + 10x + y.

Вычисление исходного числа

Вычислим сумму цифр числа N:

S = 2 + 0 + x + y = x + y + 2.

По условию задачи:

N - S = 2016.

Подставив выражения для N и S и решив уравнение, найдем значение для x и y:

2000 + 10x + y - (x + y + 2) = 2016;

10x + y - x - y - 2 = 2016 - 2000;

9x = 16 + 2;

9x = 18;

x = 2.

Для x нашли значение 2, а поскольку переменная y сократилась, то для нее можем выбрать наибольшую цифру 9. Таким образом, исходное число будет:

N = 20xy = 2029.

Убедимся, что число 2029 удовлетворяет условию задачи. Сумма его цифр равна 13, следовательно получаем верное равенство:

2029 - 13 = 2016.

Ответ: 2029.

1. Очевидно, что искомое число четырехзначное. Обозначим его:

abcd, где a, b, c и d - цифры четырехзначного числа. Тогда получим:

1000a + 100b + 10c + d = 2016 + a + b + c + d;

1000a + 100b + 10c = 2016 + a + b + c.

2. 100b + 10c < 1000, следовательно:

a = 2;

1000 * 2 + 100b + 10c = 2016 + 2 + b + c;

100b + 10c = 18 + b + c.

3. 18 + b + c < 100, поэтому:

b = 0;

10c = 18 + c;

9c = 18;

c = 2.

4. Получили числа в виде 202d, наибольшее из них - 2029. Проверим условие:

2029 - (2 + 2 + 9) = 2029 - 13 = 2016.

Ответ: 2029.