Найдите отношения площадей двух треугольников, если стороны одного равны 5 см, 8 см, 12 см, а стороны другого треугольника 15 см, 24 см, 36 см

Легко заметить, что каждая из сторон второго треугольника в 3 раза больше соответствующей стороны первого треугольника, следовательно, они подобны (треугольники подобны, если стороны одного из них пропорциональны сторонам второго).

Коэффициент подобия в данном случае = 3.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

3 * 3 = 9.

Ответ: отношение площадей 1:9.

Будем решать данную задачу по следующей схеме:

найдем площадь первого треугольника со сторонами, равными 5 см, 8 см и 12 см; найдем площадь второго треугольника со сторонами, равными 15 см, 24 см и 36 см; зная, чему равны площади двух данных треугольников, найдем отношение их площадей.

Решение задачи

Находим площадь первого треугольника

В данном треугольнике известны длины всех его трех сторон.

Для вычисления площади этого треугольника удобнее всего воспользоваться известной формулой Герона, которая вычисляет площадь треугольника по трем его сторонам:

S = √ (р * (р - а) * (р - b) * (p - c)),

где а, b и с - длины сторон этого треугольника, а р - полупериметр этого треугольника, равный р = (а + b + с) / 2.

Находим полупериметр р1 первого треугольника:

р1 = (5 + 8 + 12) / 2 = (5 + 20) / 2 = 25 / 2 = 12.5 см.

Подставляя значения длин всех сторон данного треугольника, а также его полупериметр в формулу Герона, находим площадь S1 первого треугольника:

S1 = √ (12.5 * (12.5 - 5) * (12.5 - 8) * (12.5 - 12)) = √ (12.5 * 7.5 * 4.5 * 0.5) = √ (25 * 0.5 * 15 * 0.5 * 9 * 0.5 * 0.5) = 0.25 * √ (25 * 15 * 9) = 0.25 * 5 * 3 * √15 = 3.75√15.

Находим площадь второго треугольника

Для нахождения площади второго треугольника также используем формулу Герона./

Находим полупериметр р2 второго треугольника:

р2 = (15 + 24 + 36) / 2 = (15 + 60) / 2 = 75 / 2 = 37.5 см.

Подставляя значения длин всех сторон данного треугольника, а также его полупериметр в формулу Герона, находим площадь S2 второго треугольника:

S2 = √ (37.5 * (37.5 - 15) * (37.5 - 24) * (37.5 - 36)) = √ (37.5 * 22.5 * 13.5 * 1.5) = √ (3 * 12.5 * 3 * 7.5 * 3 * 4.5 * 3 * 0.5) = 9 * √ (12.5 * 7.5 * 4.5 * 0.5) = 9 * 3.75√15.

Находим отношения площадей треугольников

Зная, чему равны площади двух данных треугольников, можем найти отношение их площадей:

S1 / S2 = 3.75√15 / (9 * 3.75√15) = 1/9.

Ответ: отношение площадей данных треугольников равно 1/9.