Дана функция f (x) = e^x*sinx. найти для нее первообразную. Если известно что F (0) = - 1

Дана функция f (x) = e^x * sin x.

Найдем для нее первообразную, если известно, что F (0) = - 1.

1) Вычислим производную функции.

∫ f (x) dx = ∫ (e^x * sin x) dx = e^x * sin x - ∫ e^x cos x dx = e^x * sin x - e^x * cos x - ∫ e^x sin x dx/

Отсюда:

2 * F (x) = e^x * (sin x - cos x) + C;

F (x) = e^x/2 * (sin x - cos x) + C;

2) F (x) = e^x/2 * (sin x - cos x) + C;

F (0) = - 1;

-1 = e^0/2 * (sin 0 - cos 0) + C;

-1 = 1/2 * (0 - 1) + C;

-1 = - 1/2 + C;

C = - 1 + 1/2;

C = - 0.5;

Отсюда получаем, F (x) = e^x/2 * (sin x - cos x) - 0,5.