Докажите, что выражение x²+2y²-2xy+4x-4y+5 принимает лишь не отрицательное значение.

X^2 + 2 * y^2 - 2 * x * y + 4 * x - 4 * y + 5 =

= (X^2 + y^2 - 2 * x * y) + y^2 + 4 * x - 4 * y + 5 =

= (x - y) ^2 + (y^2 - 4 * y + 4) + 4 * x + 1 =

= (x - y) ^2 + (y - 2) ^2 + (4 * x + 1 + 4 * x^2) - 4 * x^2 =

= (x - y) ^2 + (y - 2) ^2 + (2 * x + 1) ^2 - 4 * x^2.

Все члены являются положительными.

(x - y) ^2 > 0,

(y - 2) ^2 > 0,

(2 * x + 1) ^2 - 4 * x^2 = (2 * x + 1) ^2 - (2 * x) ^2 > 0.

А из выражения (x - y) ^2 + (y^2 - 4 * y + 4) + 4 * x + 1 видно, что при отрицательных значениях х, выражение может равняться нулю.

Таким образом, исходное выражение может принимать лишь неотрицательное значение.