a) Сократите дробь Числитель x^3+4x^2-9x-36 Знаменатель x^3+2x^2-11x-12 б) найти значение полученной дроби при x=3

а) В числителе дроби x³ + 4x² - 9x - 36 проведем группировку и вынесем общие множители за скобки:

(x³ + 4x²) - (9x + 36) = x² (x + 4) - 9 (x + 4) = (x + 4) (x² - 9), применим формулы сокращенного умножения, в частности разность квадратов.

(x + 4) (x² - 9) = (x + 4) (x - 3) (x + 3).

Перейдем к знаменателю дроби:

x³ + 2x² - 11x - 12 = (x³ + x²) + (x² - 11x - 12) = x² (x + 1) + (x² - 11x - 12);

Находим корни квадратного уравнения (x² - 11x - 12 = 0), используя теорему Виета;

x₁ + x₂ = 12; x₁ * x₂ = - 11, x₁ = 12, x₂ = - 1.

Теперь знаменатель дроби примет вид:

x² (x + 1) + (x² - 11x - 12) = x² (x + 1) + (x - 12) * (x + 1) = (x + 1) * (x² + x - 12) = (x² + x - 12, еще раз использовали теорему Виета), = (x + 1) * (x - 3) * (x + 4).

Видим что и числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые множители (x - 3) * (x + 4), сокращаем на эти множители и имеем: (x + 3) / (x - 1).

б) При Х = 3 значение дроби равно 6 / 4 = 1,5