Решить 4sin^4x+cos4x=1+12 cos^4x

Применяя формулу 2 * sin²α = 1 - cos (2 * α) и формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), получим: 4 * sin⁴x = (2 * sin²x) ² = (1 - cos (2 * х)) ² = 1 - 2 * cos (2 * х) + cos² (2 * х). Аналогично, применяя формулу 2 * cos²α = 1 + cos (2 * α) и формулу сокращенного умножения (a + b) ² = a² + 2 * a * b + b² (квадрат суммы), получим: 12 * cos⁴x = 3 * (2 * cos²x) ² = 3 * (1 + cos (2 * х)) ² = 3 + 3 * 2 * cos (2 * х) + 3 * cos² (2 * х) = 3 + 6 * cos (2 * х) + 3 * cos² (2 * х). Воспользуемся формулой cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла), которую перепишем, используя формулу sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), в виде: cos (2 * α) = 2 * cos²α - 1. Тогда имеем: cos (4 * x) = cos (2 * 2 * x) = 2 * cos² (2 * х) - 1. Все полученные выражения подставим на свои места в данном уравнении. Тогда имеем: 1 - 2 * cos (2 * х) + cos² (2 * х) + 2 * cos² (2 * х) - 1 = 1 + 3 + 6 * cos (2 * х) + 3 * cos² (2 * х) или - 8 * cos (2 * х) = 4, откуда cos (2 * х) = - 1/2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: 2 * х = 120° + 360° * n, где n - целое число; 2 * х = - 120° + 360° * m, где m - целое число. Следовательно, решениями данного уравнения являются: х = 60° + 180° * n и х = - 60° + 180° * m, где n и m - целые числа.

Ответ: Решениями данного уравнения являются: х = 60° + 180° * n и х = - 60° + 180° * m, где n и m - целые числа.