1. xy' + y + xe^ (-x^ (2)) = 02. (x + 2y) dx + 2xdy = 03. y = y' ln y4. y" + 4y' + 4y = 05. y" + 10y' + 34y = - 9e^ (-5x) 6. y" + 4y = 3cosx

x y' + y + x e ^{- x^2} = 0.

Замечаем, что

x y' + y = (x y) ';

(x y) ' = - x e ^{- x^2};

Умножим обе части выражения на dx;

(x y) ' dx = - x e ^{- x^2} dx = 1/2 e ^{- x^2} d (-x²);

Интегрируем обе части выражения:

x y = 1/2 ∫ e ^{- x^2} d (-x²) = 1/2 e ^{- x^2} + C;

y = (1/2 e ^{- x^2} + C) / x.

(x + 2 y) dx + 2 x dy = 0.

2 (y + x y') = - x;

2 (x y) ' = - x;

Интегрируем обе части выражения:

2 ∫ (x y) ' dx = - ∫ x dx;

2 x y = - 1/2 x² + C;

y = - 1/4 x + C/x.

y = y' ln y;

ln y (ln y) ' = 1;

(ln y) d (ln y) = dx;

Интегрируем обе части выражения:

(ln y) ² / 2 = x + C;

ln y = √ (2 x + 2 C);

Возведём обе части в степень е:

y = e^{√ (2 x + 2 C)} .

y" + 4y' + 4y = 0.

Это однородное линейное дифференциальное уравнение.

Характеристический многочлен его равен:

h² + 4 h + 4 = (h + 2) ² = 0;

h₁ = h₂ = - 2.

Корни равные, то есть кратность корней равна двум. Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения запишется так:

y = C₁ e ^{- 2 x} + C₂ x e ^{- 2 x}.

y" + 10 y' + 34 y = - 9 e ^{- 5 x}.

Сначала ищем общее решение однородного линейного дифференциальное уравнения:

y" + 10 y' + 34 y = 0.

Характеристический многочлен его равен:

h² + 10 h + 34 = 0;

h₁ = - 5 + 3 i;

h₂ = - 5 - 3 i;

Здесь комплексно-сопряжённые корни характеристического уравнения.

y₁ = e ^{- 5 x} cos 3x;

y₂ = e ^{- 5 x} sin 3x;

y_общее = C₁ e ^{- 5 x} cos 3x + C₂ e ^{- 5 x} sin 3x.

Ищем частное решение в виде:

у_{частное} = a e ^{- 5 x};

a (25 e ^{- 5 x}) + 10 ( - 5 e ^{- 5 x}) + 34 (e ^{- 5 x}) = - 9 e ^{- 5 x}.

a (25 - 50 + 34) = - 9;

a = - 1;

у_{частное} = - e ^{- 5 x}.

y = y_общее + у_{частное} = e ^{- 5 x} (C₁ cos 3x + C₂ sin 3x - 1).

y" + 4 y = 3 cos x.

Сначала ищем общее решение однородного линейного дифференциальное уравнения:

y" + 4 y = 0.

Характеристический многочлен его равен:

h² + 4 = 0;

h₁ = 2 i;

h₂ = - 2 i;

Здесь мнимые сопряжённые корни характеристического уравнения.

y₁ = C₁ cos 2x;

y₂ = C₂ sin 2x;

y_общее = C₁ cos 2x + C₂ sin 2x.

Ищем частное решение в виде:

у_{частное} = a cos x + b sin x;

(-a cos x - b sin x) + 4 (a cos x + b sin x) = 3 cos x;

- a + 4 a = 3;

- b + 4 b = 0;

a = 1;

b = 0;

у_{частное} = cos;

y = y_общее + у_{частное} = C₁ cos 2x + C₂ sin 2x + cos x.