Найти натуральные значения с, при которых значение выражения 61-с^2 всё под корнем является натуральным числом

Рассмотрим алгебраическое выражение √ (61 - с²). По требованию задания, найдём натуральные значения с, при которых значение выражения А является натуральным числом. Прежде всего, заметим, что данное выражение имеет смысл, если подкоренное выражение, которого обозначим через А, неотрицательно, то есть, должно выполняться неравенство 61 - с² ≥ 0. Последнее неравенство выполнится, если с² ≤ 61. С учётом того, что требуется найти натуральные значения с, легко определим, что последнее неравенство справедливо для следующих натуральных значений с: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Теперь среди этих семи значений ищем такое, для которого выражение А является полным квадратом натурального числа. Легко проверить, что если с = 1, то число А = 61 - 1 = 60 не является полным квадратом. При с = 2, имеем: число А = 61 - 4 = 57 также не является полным квадратом. При с = 3 получаем А = 61 - 9 = 52, которое также не является полным квадратом. Если с = 5, то 61 - 25 = 36 = 6² (нашли одно решение задания с = 5). При с = 6, получим А = 61 - 36 = 25 = 5² (нашли ещё одно решение задания с = 6). Наконец, при с = 7, имеем А = 61 - 49 = 12, которое не может удовлетворить условия задания.

Ответ: с = 5 и с = 6.