Докажите тождества sin2x+sin6x:cos2x+cos6x=tg4x

1. Сумма синусов двух углов:

sinφ + sinχ = 2sin ((φ + χ) / 2) * cos ((φ - χ) / 2); sin2x + sin6x = 2sin ((6x + 2x) / 2) * cos ((6x - 2x) / 2) = 2sin (8x/2) * cos (4x/2) = 2sin4x * cos2x.

2. Сумма косинусов двух углов:

cosφ + cosχ = 2cos ((φ + χ) / 2) * cos ((φ - χ) / 2); cos2x + cos6x = 2cos ((6x + 2x) / 2) * cos ((6x - 2x) / 2) = 2cos (8x/2) * cos (4x/2) = 2cos4x * cos2x.

3. Подставим значения полученных тригонометрических выражений:

(sin2x + sin6x) : (cos2x + cos6x) = (2sin4x * cos2x) : (2cos4x * cos2x) = sin4x/cos4x = tg4x.

Что и требовалось.