Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0.5 см.

Если в треугольнике провести все средние линии, то получим четыре равносторонних треугольника со стороной 0.5 см.

И так как точек пять, и все они расположены внутри большого треугольника, то по принципу Дирихле, две из этих точек окажутся в одном из этих четырех маленьких треугольников.

Причем, точки не могут быть расположены на вершинах треугольников, так как эти вершины лежат на сторонах главного треугольника, а по условию все точки расположены внутри большого треугольника.

Следовательно, найдутся две точки, расстояние между которыми меньше 0.5 см.