Cos5x+cos2x+cos3x+cos4x=0

Решим данное тригонометрическое уравнение cos (5 * x) + cos (2 * x) + cos (3 * x) + cos (4 * x) = 0, хотя об этом явного требования в задании нет. Анализ левой части данного уравнения показывает, что к ней можно применить следующую формулу дважды: cosα + cosβ = 2 * cos (½ * (α + β)) * cos (½ * (α - β)) (сумма косинусов). Тогда, получим: 2 * cos (½ * (5 * x + 2 * x)) * cos (½ * (5 * x - 2 * x)) + 2 * cos (½ * (3 * x + 4 * x)) * cos (½ * (3 * x - 4 * x)) = 0 или cos (3,5 * х) * cos (1,5 * х) + cos (3,5 * х) * cos (-0,5 * х). Выводим за скобки множитель cos (3,5 * х) и учитывая чётность косинуса, получим: cos (3,5 * х) * (cos (1,5 * х) + cos (0,5 * х)) = 0. Теперь формулу из п. 1 применим к выражению в скобках. Имеем cos (3,5 * х) * 2 * cos (½ * (1,5 * x + 0,5 * x)) * cos (½ * (1,5 * x - 0,5 * x)) = 0 или cos (3,5 * х) * cosх * cos (0,5 * х) = 0. Произведение нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Согласно этого факта, получим следующие три уравнения: cos (3,5 * х) = 0, cosх = 0 и cos (0,5 * х) = 0. Эти простейшие тригонометрические уравнения имеют следующие три серии решений: 3,5 * х = π/2 + π * m; х = π/2 + π * n и 0,5 * х = π/2 + π * k, где m, n и k - целые числа. Таким образом, решениями являются: х = π/7 + (2/7) * π * m; х = π/2 + π * n и х = π + 2 * π * k, где m, n и k - целые числа.