1. В классе меньше 30 ребят. Половина ребят занимается английским, треть изучает испанский язык, восьмая часть предпочитает китайский язык. Остальные ещё не определились, какой язык хотели бы изучать. Сколько ребят болтаются без дела, пока остальные учат иностранные языки? а) 4 б) 3 в) 2 г) 1 2. При устройстве на работу работодатель озвучил условия: за каждый отработанный день он платит 10 рублей, за прогул или выходной не только не платит, но и отнимает от зарплаты штраф 5 рублей. Через 30 дней выяснилось, что работник ничего не заработал. Сколько дней он устраивал себе выходные? а) 10 б) 15 в) 20 г) 25 3. Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой q > 1. Если второй член прогрессии уменьшить на 8, то полученные три числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на 25, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел. а) 15 б) 16 в) 21 г) 22

Первая задача

Пусть в классе всего X учеников, и из них Y учеников еще не выбрали иностранный язык.

Тогда английский язык изучают 1/2 * Y учеников, испанский изучают 1/3 * Y учеников, а китайский изучают 1/8 * Y учеников.

Найдем связь между X и Y.

Y = 1/2 * Y + 1/3 * Y + 1/8 * Y + X

24/24 * Y = 12/24 * Y + 8/24 * Y + 3/24 * Y + X

1/24 * Y = X

Y = 24X

В классе менее 30 учеников, то есть Y < 30.

24X < 30

X < 30/24

X < 1,25

X обозначает натуральное число, поэтому возможно только одно решение: X = 1.

Ответ: 1.

Вторая задача

Пусть работник за 30 дней устроил себе X выходных.

Тогда у него было 30 - X рабочих дней.

К зарплате прибавили 10 * (30 - X) рублей, из зарплаты вычли 5X рублей, а итоговая сумма была равна нулю. Составим уравнение.

10 * (30 - X) - 5X = 0

300 - 10X - 5X = 0

300 = 15X

X = 300 / 15

X = 20

Ответ: 20.

Третья задача

Пусть первоначальная геометрическая прогрессия имеет знаменатель q и первый член b.

b; b * q; b * q^2.

Рассмотрим вторую геометрическую прогрессию.

b; b * q - 8; b * q^2.

Пусть p - знаменатель второй геометрической прогрессии.

Обозначим связь между первым и вторым членом прогрессии:

b * p = b * q - 8

Обозначим связь между первым и третьим членом прогрессии:

b * p^2 = b * q^2

Нас сейчас интересует второе равенство.

b * p^2 = b * q^2

p^2 = q^2

Возможны два варианта.

1. Пусть p = q.

Теперь нам пригодится равенство, которое мы записали ранее:

b * p = b * q - 8

Преобразуем это равенство с учетом того, что p = q.

b * q = b * q - 8

0 = - 8

Это невозможно. Значит, p ≠ q.

2. Пусть p = - q.

Снова используем равенство, которое мы записали ранее:

b * p = b * q - 8

Преобразуем это равенство с учетом того, что p = - q.

b * (-q) = b * q - 8

-b * q = b * q - 8

2 * b * q = 8

b * q = 4

Рассмотрим арифметическую прогрессию.

b; b * q - 8; b * q^2 - 25.

Разность между третьим и вторым её членом будет равна разности между вторым и первым членом.

(b * q^2 - 25) - (b * q - 8) = (b * q - 8) - b

При этом мы знаем, что b * q = 4.

(4q - 25) - (4 - 8) = (4 - 8) - b

4q - 25 + 4 = - 4 - b

b = 17 - 4q

Подставим это значение b в равенство b * q = 4.

(17 - 4q) * q = 4

17q - 4q^2 = 4

4q^2 - 17q + 4 = 0

Получилось квадратное уравнение.

D = 17^2 - 4 * 4 * 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2

1. q = (17 - 15) / (2 * 4) = 2/8 = 0,25

Это противоречит условию задачи, согласно которому q > 1.

2. q = (17 + 15) / (2 * 4) = 32/8 = 4

Итак, q = 4

b = 17 - 4 * 4 = 17 - 16 = 1

Подсчитаем сумму членов первоначальной геометрической прогрессии.

b = 1

b * q = 1 * 4 = 4

b * q^2 = 1 * 4^2 = 16

1 + 4 + 16 = 21

Ответ: 21.