Три числа составляют геометрическую прогрессию, в которой q>1. Если второй член прогрессии уменьшить на 8, то полученные три числа в том же порядке опять составят геометрическую прогрессию. Если третий член новой прогрессии уменьшить на 25, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите сумму исходных чисел

Данные три числа обозначим через х, у и z. Оформим первое условие задания, y : x = z : y или у² = x * z. Второе условие задания позволяет утверждать, что (у - 8) ² = x * z. Используя эти два условия, получим: у² = (у - 8) ². Это равенство может выполняться только в том случае, если у = - (у - 8) или у = - у + 8, откуда у = 4. Третье условие задания утверждает, что числа х, у - 8, z - 25 (с учетом у = 4, числа х, - 4, z - 25) составляют арифметическую прогрессию. Оформим: - 4 - х = z - 25 - (-4) или х + z = 17. Перепишем первое условие в виде x * z = 4² = 16. Это условие совместно с условием п. 3 согласно теореме Виета позволяет утверждать следующее: x и z являются корнями квадратного уравнения t² - 17 * t + 16 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 1 и t₂ = 16. Необходимо исследовать два случая: а) х = 1, z = 16 и б) х = 16, z = 1. В случае а) х = 1, z = 16, с учётом у = 4, получаем числа 1; 4 и 16, которые удовлетворяют всем условиям задания. Найдём их сумму 1 + 4 + 16 = 21. В случае б) х = 16, z = 1, с учётом у = 4, получаем числа 16; 4 и 1, которые также удовлетворяют всем условиям задания. Их сумма также равна 21.

Ответ: 21.