В группе 24 студента, среди которых 8 отличников. По списку нужно выбратьподгруппу из студентов так, чтобы в ней было по крайней мере пять отличников. Сколькими способами это можно сделать?

Так как в подгруппу должны войти по крайней мере пять отличников, это значит, что в подгруппе может быть 8, 7, 6 или 5 отличников. Остальные студенты не являющиеся отличниками могут входить или не входить в подгруппу, поэтому их количество не важно.

Восемь отличников из восьми можно выбрать единственным способом.

Для нахождения количества остальных способов выбора воспользуемся формулой для количества сочетаний по k элементов из n элементов:

C (n, k) = n!/[k! (n - k) !].

Общее количество способов N выбрать подгруппу, содержащую по крайней мере пять отличников, будет:

N = C (8,8) + C (8,7) + C (8,6) + C (8,5).

Найдем эти количества:

C (8,8) = 8!/[8! (8 - 8) !] = 8! / (8!0!) = 8!/8! = 1.

C (8,7) = 8!/[7! (8 - 7) !] = 8/1! = 8.

C (8,6) = 8!/[6! (8 - 6) !] = 8*7/2! = 56/2 = 28.

C (8,5) = 8!/[5! (8 - 5) !] = 8*7*6 / (1*2*3) = 56.

N = 1 + 8 + 28 + 56 = 93

Ответ: выбрать подгруппу студентов так чтобы в ней содержалось по крайней мере пять отличников из восьми можно 56-ю способами.