Докажите, что значение выражения: 1) 10^100 + 8 делится нацело на 9; 2) 111^n - 1 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) Число будет делиться на 9 если сумма его цифр делится на 9.

Допустим, что мы ввели число 10 в 100 - ю степень, мы получим число, которое состоит из 1 и ста 0. Сумма цифр такого числа будет равна: 1 + 0 + ... + 0 = 1.

Прибавим к этому числу 8, следовательно сумма цифр станет равна 1 + 8 = 9.

По признаку делимости на 9, данное число делится на 9.

2) Рассмотрим число 111ⁿ . Данное число представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен 111. При любом значении n такое произведение будет заканчиваться на 1.

Если из данного произведения мы вычтем 1, то получим число, которое заканчивается на 0, а такое число всегда делится на 5 нацело.