В урне содержится 4 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них: а) 4 белых шара; б) менее четырех белых шаров; в) хотя бы 1 белый шар

Найдем общее число шаров в урне: 4 (черных) + 7 (белых) = 11 (шаров);

1) Вероятность вытянуть 4 белых шара из урны (Р), находим соотношением благоприятных событий к общему числу:

C7 4 = 7! / (4! * (7 - 4) !) = 7! / (4! * 3!) = (5 * 6 * 7) / (1 * 2 * 3) = 35 (вероятность вытянуть 4 белых шара из 7-ми в урне);

C4 0 = 4! / (0! * (4 - 0) !) = 4! / (0! * 4!) = 1/1 = 1 (вероятность вытянуть ни одного черного шара из 4-х в урне);

C11 4 = 11! / (4! * (11 - 4) !) = 11! / (4! * 7!) = (8 * 9 * 10 * 11) / (1 * 2 * 3 * 4) = 330 (вероятность вытянуть четыре шара из 11 в урне);

P = (C7 4 * C4 0) / C11 4 = (35 * 1) / 330 = 0.1060. (ответ а).

2) Вероятность появления менее 4-х белых шаров (Р) означает, что из 4-х вытянутых шаров 1, 2, 3 или 4 черных.

Р = Р0 + Р1 + Р2 + P3, где

P3 - 3 белых и 1 черный;

Р2 - 2 белых и 2 черных;

Р1 - 1 белый и 3 черных;

Р0 - ни одного белого и 4 черных.

Рассчитаем:

P3 = (C7 3 * C41) / C11 4 = (35 * 4) / 330 = 0.424;

P2 = (C7 2 * C42) / C11 4 = (21 * 6) / 330 = 0.382;

P1 = (C7 1 * C43) / C11 4 = (7 * 4) / 330 = 0.085;

P0 = (C7 0 * C44) / C11 4 = (1 * 1) / 330 = 0.003;

Р = 0.424 + 0.382 + 0.085 + 0.003 = 0.894. (ответ б).

3) Вероятность "хотя бы одного белого шара" рассмотрим из противоположной ситуации "все шары черные":

Р1 = C44 / C114 = 1/330 = 0.003; Р = 1 - Р1 = 1 - 003 = 0.97 (ответ в).