1/xy+1/x+y=1/2 x^2y+xy^2=-2 система уравнений второго уровня. решение

Левая часть первого уравнения 1 / (x * y) + 1 / (x + y) представляет собой сумму двух дробей: 1 / (x * y) и 1 / (x + y). Очевидно, что общим знаменателем будет произведение знаменателей суммируемых дробей. Выполним суммирование и перепишем первое уравнение в виде (х + у + х * у) / ((x * y) * (х + у)) = 1/2. Легко видеть, что знаменатель дроби в полученном уравнении, учитывая второе уравнение x² * y + x * y² = - 2, можно заменить на (-2). Тогда, имеем: (х + у + х * у) / (-2) = 1/2, откуда следует, что х + у + х * у = - 1. Итак, с одной стороны, сумма двух выражений (х + у) и х * у равна - 1, а с другой стороны, их произведение равно - 2. Используя теорему Виета, имеем право утверждать, что эти выражения являются решениями следующего квадратного уравнения: z² + z - 2 = 0. Решим последнее уравнение. Его дискриминант D_z = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 > 0. Следовательно, оно имеет два различных корня: z₁ = (-1 - √ (9)) / 2 = - 4 : 2 = - 2 и z₂ = (-1 + √ (9)) / 2 = 2 : 2 = 1. Рассмотрим два возможных случая. А) х + у = - 2 и х * у = 1. Теперь составим другое квадратное уравнение, решениями которого являются х и у. Имеем: u² + 2 * u + 1 = 0. Его дискриминант D_u = 2² - 4 * 1 * 1 = 0. Имеем единственный корень: u = - 1. Следовательно, получим первую пару решения: х = у = - 1. Б) х + у = 1 и х * у = - 2. Составим ещё одно квадратное уравнение, решениями которого являются х и у. Имеем: v² - v - 2 = 0. Его дискриминант D_v = (-1) ² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 > 0. Вычислим два корня этого уравнения: v₁ = (1 - √ (9)) / 2 = - 2 : 2 = - 1 и v₂ = (1 + √ (9)) / 2 = 4 : 2 = 2. Следовательно, получим ещё две пары решений: х = - 1; у = 2 и х = 2; у = - 1.

Ответы: 1) х = - 1; у = - 1. 2) х = - 1; у = 2. 3) х = 2; у = - 1.