решить уравнение √5x+√ (14-x) = 8

Оценим в каких пределах могут быть корни уравнения, исходя из того, что под корнем априори число положительное:

5 * х ≥ 0;

х ≥ 0;

14 - х ≥ 0;

х ≤ 14;

0 ≤ х ≤ 14;

√‾ (5 * х) + √‾ (14 - х) = 8;

8 - √‾ (5 * х) = √‾ (14 - х);

Возведем в квадрат обе части уравнения:

64 - 2 * 8 * √‾ (5 * х) + 5 * х = 14 - х;

5 * х + х - 14 + 64 = 16 * √‾ (5 * х);

6 * х + 50 = 16 * √‾ (5 * х);

Уменьшим числа, разделив обе части уравнения на 2:

3 * х + 25 = 8 * √‾ (5 * х);

Возведем в квадрат обе части уравнения повторно:

9 * х² + 2 * 25 * 3 * х + 625 = 64 * 5 * х;

9 * х² + 150 * х + 625 = 320 * х;

9 * х² + 150 * х + 625 - 320 * х = 0;

9 * х² - 170 * х + 625 = 0;

Уравнение приведено к виду a * x² + b * x + c = 0, где а = 9; b = - 170; с = 625.

Такое уравнение имеет 2 решения:

х₁ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (170 - √‾ ((-170) ² - 4 * 9 * 625)) / (2 * 9) = (170 - √‾ (28 900 - 22 500)) / 18 = (170 - √‾6400) / 18 = (170 - 80) / 18 = 90 / 18 = 5;

х₂ = ( - b - √‾ (b² - 4 * a * c)) / (2 * a) = (170 + √‾ ((-170) ² - 4 * 9 * 625)) / (2 * 9) = (170 + √‾ (28 900 - 22 500)) / 18 = (170 + √‾6400) / 18 = (170 + 80) / 18 = 250 / 18 = 125/9 = 13 8/9;

Оба корня находятся в границах:

0 ≤ х ≤ 14;

Проверим, являются ли найденные корни решением начального уравнения. Подставим полученные корни в первоначальное уравнение:

х₁ = 5;

√‾ (5 * х) + √‾ (14 - х) = √‾ (5 * 5) + √‾ (14 - 5) = 5 + √‾ 9 = 5 + 3 = 8;

х₂ = 13 8/9;

√‾ (5 * 125/9) + √‾ (14 - 125/9) = √‾ (625/9) + √‾ ((126 - 125) / 9) = 25/3 + √‾ (1/9) = 25/3 + 1/3 = 26/3 = 8 2/3 > 8;

Значит решением уравнения является х = 5.