Найдите среднее арифметическое корней уравнения √ (2 х+8) - √ (х+2) = 2

Дано уравнение

sqrt{x + 2} + sqrt{2 x + 8} = 2

Возведём обе части ур-ния в (о) 2-ую степень

( - sqrt{x + 2} + sqrt{2 x + 8}) ^{2} = 4

или

1^{2} (2 x + 8) + - 2 sqrt{ (x + 2) (2 x + 8) } + (-1) ^{2} (x + 2) = 4

или

3 x - 2sqrt{2 x^{2} + 12 x + 16} + 10 = 4

преобразуем:

- 2 sqrt{2 x^{2} + 12 x + 16} = - 3 x - 6

Возведём обе части ур-ния в (о) 2-ую степень

8 x^{2} + 48 x + 64 = ( - 3 x - 6) ^{2}

8 x^{2} + 48 x + 64 = 9 x^{2} + 36 x + 36

Перенесём правую часть уравнения левую часть уравнения со знаком минус

- x^{2} + 12 x + 28 = 0

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

D = b^2 - 4*a*c

Т. к.

a = - 1

b = 12

c = 28

, то

D = b^2 - 4 * a * c = (12) ^2 - 4 * (-1) * (28) = 256

Т. к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt (D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt (D)) / (2*a)

или

x_{1} = - 2

x_{2} = 14

Т. к.

sqrt{2 x^{2} + 12 x + 16} = {3 x}{2} + 3

и

sqrt{2 x^{2} + 12 x + 16} > 0

то

{3 x}/{2} + 3> 0

или

x_{1} = - 2

x_{2} = 14

проверяем:

x_{1} = - 2

- sqrt{x_{1} + 2} + sqrt{2 x_{1} + 8} - 2 = 0

=

-2 + - sqrt{-2 + 2} + sqrt{-2/2 + 8} = 0

=

0 = 0 - тождество

x_{2} = 14

- sqrt{x_{2} + 2} + sqrt{2 x_{2} + 8} - 2 = 0

=

-2 + - sqrt{2 + 14} + sqrt{8 + 2/14} = 0

=

0 = 0

- тождество

Тогда, окончательный ответ:

x_{1} = - 2

x_{2} = 14

Среднее арифметическое:

((-2) + 14) / 2 = 6