Найдите корни уравнения cosx-cos2x=1, принадлежащие промежутку (-3 П/4; П ]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение cosx - cos (2 * x) = 1. Используя формулу cos (2 * α) = cos²α - sin²α (косинус двойного угла), которого перепишем в виде cos (2 * α) = 2 * cos²α - 1, преобразуем данное уравнение в виде: cosx - (2 * cos²х - 1) = 1 или cosx - 2 * cos²х = 0. Выведем множитель cosx за скобки. Тогда, получим: cosx * (1 - 2 * cosх) = 0. Левая часть последнего уравнения представляет собой произведение двух сомножителей, а его правая часть равна нулю. Такое равенство выполнится тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Имеем: а) cosx = 0 и б) 1 - 2 * cosх = 0. Получили два простейших тригонометрических уравнения. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности и среди их решений найдём такие, которые принадлежат промежутку (-3 * π/4; π], если таковые имеются. Пусть а) cosx = 0. Имеем: х = π/2 + π * n, где n ∈ Z, Z - множество целых чисел. Решим двойное неравенство относительно n ∈ Z. Имеем: - 3 * π/4 < π/2 + π * n ≤ π или, упрощая, - 1,25 < n ≤ 0,5. Это двойное неравенство имеет два целочисленных решения n = - 1 и n = 0, к которым соответствуют следующие решения данного уравнения: х = - π/2 и х = π/2. Пусть теперь б) 1 - 2 * cosх = 0. Это уравнение равносильно простейшему тригонометрическому уравнению cosх = ½, которое имеет следующие две серии решений: х₁ = π/3 + 2 * π * k и х₂ = - π/3 + 2 * π * m, где k, m ∈ Z. Рассмотрим каждую серию по отдельности. Для первой серии составим двойное неравенство - 3 * π/4 < π/3 + 2 * π * k ≤ π, которое имеет одно целочисленное решение k = 0, которому соответствует решение данного уравнения х = π/3. Аналогично, для второй серии составим двойное неравенство - 3 * π/4 < - π/3 + 2 * π * m ≤ π, которое имеет одно целочисленное решение m = 0, которому соответствует решение данного уравнения х = - π/3. Итак, промежутку (-3 * π/4; π] принадлежат следующие 4 решения данного уравнения: х = - π/2, х = - π/3, х = π/3 и х = π/2.

Ответ: х = - π/2, х = - π/3, х = π/3 и х = π/2.