Периметр прямоугольника 80 см. Каким должны быть его длина и ширина, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей? Напишите решение и ответ

Решать можно разными способами:

1 вариант.

Запишем формулы периметра и площади прямоугольника и рассмотрим возможные варианты для длины и ширины.

P = 2 * (a + b), S = a * b.

2 * (a + b) = 80

a + b = 40.

a = 1, b = 39, S = 1 * 39 = 39;

a = 2, b = 38, S = 2 * 38 = 76;

a = 3, b = 37, S = 3 * 36 = 108;

a = 4, b = 35, S = 4 * 35 = 140.

Так можно продолжать и дойти до:

a = 20, b = 20, S = 20 * 20 = 400. Это и будет максимальная площадь, а прямоугольник - квадрат со стороной 20 см.

2 вариант.

Обозначим стороны прямоугольника a и b.

2a + 2b = 80;

a + b = 40;

b = 40 - a;

S = a * (40 - a) = 40a - a²

Сделаем некоторые преобразования:

S = 40a - a² + 400 - 400 = 400 - (a² - 40a + 400) = 400 - (a - 20) ².

Максимальное значение площади будет при (a - 20) ² = 0.

(a - 20) ² = 0.

а = 20 (см);

b = 40 - a = 20 (см).

Ответ: длина 20 см, ширина 20 см.