Доказать, что во всякой геометрической прогрессии сумма четвертого, пятого и шестого членов есть среднее геометрическое между суммой первого, второго и третьего членов и суммой седьмого, восьмого и девятого членов

Обозначим первый член данной геометрической последовательности через b1, а знаменатель этой последовательности через q.

Тогда члены данной последовательности со второго по девятый будут равны соответственно b1 * q, b1 * q^2, b1 * q^3, b1 * q^4, b1 * q^5, b1 * q^6, b1 * q^7 и b1 * q^8.

Найдем среднее геометрическое между суммой первого, второго и третьего членов и суммой седьмого, восьмого и девятого членов:

√ ((b1 + b1 * q + b1 * q^2) * (b1 * q^6 + b1 * q^7 + b1 * q^8)) = √ (b1 * (1 + q + q^2) * b1 * (q^6 + q^7 + q^8)) = √ (b1 * (1 + q + q^2) * b1 * q^6 * (1 + q^2 + q^3)) = √ (b1^2 * (1 + q + q^2) ^2 * q^6) = b1 * (1 + q + q^2) * q^3 = b1 * q^3 + b1 * q^4 + b1 * q^4 = b4 + b5 + b6,

что и требовалось доказать.