Сумма первого, третьего и четвертого членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем равна 279, а сумма третьего, пятого и шестого членов этой прогрессии равна 31. Найдите восьмой член прогрессии.

1. n-й член геометрической прогрессии определяется формулой:

bn = b1 * q^ (n - 1), где b1 - первый член; q - знаменатель прогрессии.

2. Составим и решим систему уравнений (с учетом условия q > 0):

{b1 + b3 + b4 = 279;

{b3 + b5 + b6 = 31; {b1 + b1 * q^2 + b1 * q^3 = 279;

{b1 * q^2 + b1 * q^4 + b1 * q^5 = 31; {b1 (1 + q^2 + q^3) = 279;

{b1q^2 (1 + q^2 + q^3) = 31; {b1 (1 + q^2 + q^3) = 279;

{b1q^2 (1 + q^2 + q^3) = 31; {b1 (1 + q^2 + q^3) = 279;

{q^2 = 31/279; {b1 (1 + q^2 + q^3) = 279;

{q^2 = 1/9; {b1 (1 + 1/9 + 1/27) = 279;

{q = 1/3; {b1 (27 + 3 + 1) = 27 * 279;

{q = 1/3; {31 * b1 = 27 * 279;

{q = 1/3; {b1 = 27 * 279/31;

{q = 1/3; {b1 = 243;

{q = 1/3.

3. Восьмой член прогрессии:

b8 = b1 * q^7; b8 = 243 * (1/3) ^7 = 3^5/3^7 = 1/3^2 = 1/9.

Ответ: b8 = 1/9.