Решите в натуральных числах уравнение y (x+1) ^2=128x

y (x + 1) ^2 = 128x.

Так как х и (х + 1) - взаимно простые числа (не делятся друг на друга), то (x + 1) ^2 является делителем числа 128.

Так как (x + 1) ^2 - это квадрат числа, то ищем делители числа 128, которые являются квадратом числа: 64 (8^2), 16 (4^2), 4 (2^2) и 1 (1^2).

Находим значение х:

1) (x + 1) ^2 = 64;

х + 1 = 8;

х = 8 - 1;

х = 7.

Отсюда находим у: y (x + 1) ^2 = 128x.

y (7 + 1) ^2 = 128 * 7;

y * 64 = 128 * 7;

у = 128 * 7/64 = 2 * 7 = 14.

Ответ: (7; 14).

2) (x + 1) ^2 = 16;

х + 1 = 4;

х = 4 - 1;

х = 3.

Отсюда находим у: y (x + 1) ^2 = 128x.

y (3 + 1) ^2 = 128 * 3;

y * 16 = 128 * 3;

у = 128 * 3/16 = 8 * 3 = 24.

Ответ: (3; 24).

3) (x + 1) ^2 = 4;

х + 1 = 2;

х = 2 - 1;

х = 1.

Отсюда находим у: y (x + 1) ^2 = 128x.

y (1 + 1) ^2 = 128 * 1;

y * 4 = 128;

у = 128/4 = 32.

Ответ: (1; 32).

4) (x + 1) ^2 = 1;

х + 1 = 1;

х = 1 - 1;

х = 0 (не подходит, 0 не натуральное число).

Общее решение: (7; 14), (3; 24) и (1; 32).