Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, то получится прогрессия арифметическая. Определить знаменатель геометрической прогрессии.

Предположим, что первое из этих трёх чисел равно х ≠ 0, а искомый знаменатель геометрической прогрессии равен q ≠ 0. Тогда числа х, х * q и х * q² образуют геометрическую прогрессию. Согласно условия задания, среднее число, то есть число х * q увеличим в два раза. Тогда получим следующую тройку чисел: х, 2 * х * q и х * q². По утверждению задания, полученная тройка чисел образует арифметическую прогрессию. Тогда к ним можно применить характеристическое свойство арифметической прогрессии, которое выражается формулой а_{n - 1} + а_{n + 1} = 2 * а_n, где а_n - n-й член арифметической прогрессии, n = 2, 3, ... Имеем: х + х * q² = 2 * 2 * х * q. Поделим обе стороны последнего равенства на х ≠ 0. Тогда получим следующее приведённое квадратное уравнение: q² - 4 * q + 1 = 0. Вычислим дискриминант D этого уравнения: D = (-4) ² - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12. Положительность дискриминанта извещает о том, что квадратное уравнение имеет два различных корня: q₁ = (4 - √ (12)) / 2 = 2 - √ (3) и q₂ = (4 + √ (12)) / 2 = 2 + √ (3). Таким образом, условиям задания удовлетворяют два числа: 2 - √ (3) и 2 + √ (3).

Ответ: Знаменателем геометрической прогрессии, удовлетворяющим условиям задания является каждый из следующих чисел: 2 - √ (3) и 2 + √ (3).