Найдите сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4?

Любое целое число х, которое при делении на 9 дают в остатке 4, можно записать в виде:

х = 9 * n + 4,

где n - некоторое целое число.

При n = 1 мы получаем первое положительное число, которое при делении на 9 дает в остатке 4. Это число равно 13 и он является двузначным.

Найдем последнее двузначное число, которое при делении на 9 дает в остатке 4. Для этого решим неравенство:

9 * n + 4 < = 99;

9 * n < = 99 - 4;

9 * n < = 95;

n < = 95 / 9;

n < = 10 5/9.

Следовательно, при n = 10 мы получим последнее двузначное число, которое при делении на 9 дает в остатке 4.

Покажем, что последовательность аn = 9 * n + 4 является арифметической прогрессией. Найдем разность аn+1 - аn:

аn+1 - аn = 9 * (n + 1) + 4 - 9 * n - 4 = 9 * n + 4 - 9 * n - 4 + 9 = 9.

Следовательно, последовательность аn = 9 * n + 4 является арифметической прогрессией с первым членом а1 = 13 и разностью d = 9. Найдем сумму S10 первых 10-ти членов данной прогрессии, которая и будет равна сумме всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4:

S10 = (2 * a1 + d * (10 - 1)) * 10 / 2 = (2 * a1 + d * 9) * 5 = (2 * 13 + 9 * 9) * 5 = (26 + 81) * 5 = 107 * 5 = 535.

Ответ: сумма всех двузначных чисел, которые при делении на 9 дают в остатке 4 равна 535.