Найти экстремумы функции f (x) = (5-4x) e^x

Используем необходимое условие существования экстремумов, находим первую производную функции:

f' (x) = ((5 - 4x) e^x) ' = (5 - 4x) 'e^x + (e^x) ' (5 - 4x) = - 4e^x + 5e^x - 4e^x * x = e^x - 4e^x * x = e^x (1 - 4x);

Приравниваем производную к нулю, находим стационарные точки:

e^x (1 - 4x) = 0;

e^x не равно 0, 1 - 4 х = 0;

x = 1/4;

f (1/4) = 4e^1/4;

Используем достаточное условие и находим вторую производную:

f'' (x) = (e^x (1 - 4x)) ' = e^x (1 - 4x) - 4e^x = - e^x (4x + 3);

y'' (1/4) = - 4e^1/4 < 0;

=> y (1/4) - точка максимума функции.