1) X^lgx+1=100 2) 2^lgx-1=0,5^-1

Задание состоит из двух частей, в каждой из которой нужно решить логарифмическое уравнение, хотя об этом явного требования в ней нет.

x^{lgx + 1} = 100. Очевидно, что данное уравнение имеет смысл только при х > 0. Прологарифмируем по основанию 10 обе стороны данного уравнения. Тогда, используя 100 = 10² и формулу log_abⁿ = n * log_ab (где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число), имеем: lg (x^{lgx + 1}) = lg (10²) или (lgx + 1) * lgx = 2. Раскрывая скобки и переведя 2 в левую сторону уравнения, получим: (lgx) ² + lgx - 2 = 0. Введём новую переменную у = lgx. Тогда получим квадратное уравнение у² + у - 2 = 0, которое имеет дискриминант D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 > 0. Следовательно, это квадратное уравнение имеет два различных корня: у₁ = (-1 - √ (9)) / 2 = (-1 - 3) / 2 = - 4/2 = - 2 и у₂ = (-1 + √ (9)) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 2/2 = 1. При у = - 2, имеем lgx = - 2, откуда х = 10^-2 = 0,01. Если у = 1, то получим: lgx = 1, откуда х = 10¹ = 10. 2^{lgx - 1} = 0,5^-1. Очевидно, что данное уравнение имеет смысл только при х > 0. Поскольку 0,5^-1 = 1 / 0,5 = 2 = 2¹, то данное уравнение перепишем в виде: 2^{lgx - 1} = 2¹, которое равносильно уравнению lgx - 1 = 1 или lgx = 2. Последнее уравнение имеет решение х = 10² = 100.

Ответы: 1) х = 0,01; х = 10. 2) х = 100.