Показать, что F (x) = e^2x+x^3-cosx является первообразной для функции f (x) = 2e^2x+3x^2+sinx на всей числовой прямой

Из определения первообразной следует справедливость равенства: (F (x)) ' = f (x), найдем производную, используя правило для нахождения производной суммы (разности):

(F (x)) ' = (e^2x + x^3 - cos (x) ' = (e^2x) ' + (x^3) ' - (cos (x)) ' = 2e^2x + 3x^2 + sin (x).

2e^2x + 3x^2 + sin (x) = f (x) - что и требовалось доказать.